Número de emergencia: π

Cada vez que viajo en subte o en tren y no estoy sumergido en el universo literario o en mis adentros, siempre hago foco en algo particular: Unos carteles que expresan: “Programa subte alerta” o “Programa tren alerta”, dependiendo en donde me encuentre, por supuesto.
Estos programas están desarrollados por el gobierno argentino con el objetivo de reducir el delito en los subtes y trenes de la republica. ¿De que manera? Habilitando un numero de emergencia para comunicarse en tal caso. ¿Cuál es dicho número? Adivinen: * 31416.
Sí, es π redondeado en su cuarto decimal y multiplicado por 10000.
Y justamente la decisión de habilitar tal número es lo que me llama la atención. ¿Por qué utilizarlo? Se me ocurrió que era por una simple cuestión de memoria, es decir, que cualquiera que tuviera que marcar el número se iba a acordar. Pero esto no sucede; comentando esta situación con conocidos, no todos recordaban que ese número era π.
Entonces pregunto nuevamente, ¿Por qué utilizarlo? Seguramente detrás de tal elección se encuentra un matemático o un aficionado a la matemática, y ciertamente se sentía atraído por tal número. Aunque debo admitirlo, no me convenció tal razonamiento.
¿Qué número hubiera elegido yo de cinco cifras que lo recuerde la mayor cantidad de personas? ¿La constante de Planck? ¿φ o mejor conocido como la razón áurea? ¿El primer número primo de cinco dígitos? Indudablemente fue una decisión correctísima. El único número de cinco cifras que debe recordar la mayor cantidad de personas y no tenga que ver con cuestiones personales es 31416.

Menos mal que se les ocurrió redondearlo. Si estuviéramos en una emergencia no terminaríamos jamas de marcar. Jaja.

Circunferencia terrestre y relojes

Hace mucho tiempo escribí un artículo en el que hablaba de la grandiosa forma en que Eratóstenes calculó la circunferencia de la Tierra. En el artículo desarrollado a continuación les comentaré una manera de hacerlo sin tener que caminar casi 800 kilómetros. Solo hay que dejar que el tiempo pase:

En primer lugar, tenemos que encontrar un lugar desde donde podamos ver el atardecer a nivel del mar, como por ejemplo las playas de la costa marítima argentina. Segundo, debemos sentarnos en dicha zona geográfica al atardecer, donde podremos ver como el Sol se va ocultando en el horizonte. Cuando éste desaparezca totalmente, debemos pararnos. Al dejar la posición de sentados y erguirnos, vamos a ver como el Sol nuevamente aparece por encima del horizonte (una demostración clara de que la Tierra es redonda), y tendremos que cronometrar el tiempo que tarda dicho astro en ocultarse otra vez. Con este dato y nuestra altura, podemos calcular fácilmente la circunferencia de la Tierra. Veamos como:

Los invito a convencerse de algo. Si caminamos la mitad del perímetro de la Tierra por el ecuador, y si trazamos una línea imaginaria desde el punto de partida y el punto de llegada hasta el centro de la Tierra, ¿Qué ángulo habremos barrido? La mitad de 360º, ¿no? ¿Y si caminamos un cuarto del perímetro? Seria también un cuarto de 360º. ¿Y tres cuartos del perímetro? También serian tres cuartos de 360º. Vemos entonces como el ángulo barrido y la distancia recorrida se corresponden, por lo que:

ángulo barrido / 360º = distancia recorrida / perímetro de la Tierra

¿Y si tenemos en cuenta el tiempo? Sabemos que la Tierra revoluciona una vez cada 24 horas, entonces, si pasa la mitad de un día, ¿no estaríamos barriendo un ángulo igual a la mitad de 360º? ¿Y no estaríamos recorriendo la mitad del perímetro? Claramente si, por lo que el tiempo también se corresponde con las otras dos magnitudes:

tiempo transcurrido / 24 horas = ángulo barrido / 360º

tiempo transcurrido / 24 horas = distancia recorrida / perímetro de la Tierra

Ahora bien, tengamos en cuenta una cosa: Si el ángulo barrido es muy pequeño, la distancia recorrida es casi igual la distancia al horizonte (esa distancia que desarrollamos en este artículo), por lo que la formula anteriormente enunciada seria:

tiempo transcurrido / 24 horas = distancia al horizonte / perímetro de la Tierra

También en el artículo que trataba sobre la distancia al horizonte, determinamos que la distancia al horizonte al cuadrado es el doble de la altura de la persona por el radio de la Tierra:

(distancia al horizonte)² = 2 x altura x radio de la Tierra

Si elevamos al cuadrado los dos términos del párrafo anterior:

(tiempo transcurrido)² / (24 horas)² = (distancia al horizonte)² / (perímetro de la Tierra)²

Y reemplazando la distancia al horizonte:

(tiempo transcurrido)² / (24 horas)² = 2 x altura x radio de la tierra / (perímetro de la Tierra)²

Sabiendo que el radio de la Tierra es el perímetro dividido dos veces π, entonces:

(tiempo transcurrido)² / (24 horas)² = 2 x altura x perímetro de la Tierra / 2π x (perímetro de la Tierra)²

(tiempo transcurrido)² / (24 horas)² = altura / π x perímetro de la Tierra

altura x (24 horas)² / π x (tiempo transcurrido)² = perímetro de la Tierra

Ahora bien, faltan algunos datos para resolver esta ecuación, y como no creo que quieran esperar a las vacaciones o se hagan un viaje para cronometrar el tiempo que tarda en ponerse el Sol entre la posición sentados y parados, se las daré: Para un observador de 1,70 metros de altura, el tiempo es de10 segundos. Entonces:

0,0017 km. x (86400 seg.)² / π x (10 seg.)² = perímetro de la Tierra

12690432 km. x seg.² / π x 100 seg.² = perímetro la Tierra

40415,38 km. = perímetro de la Tierra

Bastante exacto, sabiendo que el perímetro de la Tierra es aproximadamente 40000 km. Otra vez, aprendido del gran Alberto Rojo.

Distancia al horizonte

¿Quién no se preguntó alguna vez a que distancia se encontraba esa línea en donde se juntan el mar y el cielo?

El grafico a continuación trata de representar la curvatura de la tierra y a un observador de altura a mirando hacia el horizonte. El radio de la Tierra esta representado por r y la distancia al horizonte es l, que es lo que queremos averiguar. ¿Cómo lo hacemos?

Seguramente alguno se habrá dado cuenta: Utilizando el famosísimo teorema de Pitágoras. Para el caso del grafico que nos ocupa, podríamos enunciar que la sumatoria de las áreas de los cuadrados celeste y amarillo es igual al área del cuadrado verde, ¿no?

Área verde = área celeste + área amarillo
(r + a)² = l² + r²

Si desarrollamos la ecuación, tenemos que:

(r + a)² - r² = l²
√ (r² + 2ar + a²) – r² = l
√ (2ar + a²) = l

Detengámonos un momento. Como la altura a es muy pequeña con respecto al radio de la Tierra, podríamos considerar despreciable el termino a². Entonces concluimos que la distancia al horizonte es:

√ (2ar) ≈ l

Sabiendo el radio de la Tierra (aproximadamente 6400 kilómetros) y nuestra altura (tomo 1,70 metros como promedio), podemos calcular l:

√ (2 x 0,0017 x 6400) ≈ l
4,6 km ≈ l

Siempre supuse que se encontraba muchísimo más lejos.

Esta manera de calcular la distancia al horizonte la encontré en un libro de Alberto Rojo, que se titula “La física en la vida cotidiana”, de la misma editorial que los libros de matemática de Paenza. Por cierto, muy bueno.

Multiplicación sin tablas II

Anteriormente había realizado un artículo donde se enseñaban varios métodos para resolver multiplicaciones de manera distinta a las formas convencionales. Dos de estos eran videos donde se utilizaban gráficos como herramientas para la resolución.
Recientemente encontré otro método grafico distinto a los anteriores.

Me surgen dos preguntas: ¿Cuántos métodos gráficos existirán? ¿Y a quienes se les ocurren?

Donald en el mágico mundo de la matemática

Encontré en el fabuloso Youtube un cortometraje de Disney. Tengo un muy vago recuerdo de haberlo visto cuando chico, pero no me acordaba de la riqueza de contenido que tenía. Las tres partes duran casi media hora, pero háganse un tiempo para mirarlo, no creo que se arrepientan. Puede que hasta les haga acordar los gratos momentos de la infancia.

PARTE 1

PARTE 2

PARTE 3

Varias veces discutí con amigos acerca del contenido de las nuevas películas para chicos. Mi fundamento: No están a la altura de las maravillas que se hacían antes, como por ejemplo Fantasía, Alicia en el país de las maravillas, el Rey león, las clásicas de Tom y Jerry, y muchas otras más.
Ojala continúen haciendo cosas como las que acabamos de ver. ¿Hace falta explicar por qué?.

El sentido de la matemática

Siempre que discuto (discutir en el sentido de intercambiar opiniones) con alguien las finalidades de las ciencias matemáticas, me es muy difícil encontrar las palabras justas para explicar porque creo que es indispensable el conocimiento (aunque sea mínimo) de las mismas. Creo que más allá de las aplicaciones cotidianas y profesionales que se pueden extraer de la matemática, ésta encierra un empleo que nunca pude manifestar y que Galileo Galilei expresó de manera maravillosa en “El ensayador”:

"[...]La filosofía está escrita en ese grandísimo libro que tenemos abierto ante los ojos, quiero decir, el universo, pero no se puede entender si antes no se aprende a entender la lengua, a conocer los caracteres en los que está escrito. Está escrito en lengua matemática y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es imposible entender ni una palabra; sin ellos es como girar vanamente en un oscuro laberinto.[...]"

Cada vez que entable otra conversación acerca de las finalidades de la matemática, simplemente les contestaré lo que Galileo, o por lo menos haré que lo lean. Puede gustar o no la matemática, pero cuán cierto es lo que afirma este gran científico.

El príncipe matemático

En un determinado reino, en una época cualquiera, existió una princesa. Su padre, el Rey, como en la mayoría de los casos, había elegido un pretendiente para su hija; un acaudalado príncipe de un reino vecino. Pero en esta elección había un inconveniente; la princesa estaba enamorada, como en toda historia romántica, de un pobre muchacho y se queria casar con él. El Rey, no consintiendo dicha unión, y tampoco queriéndose oponer a los sentimientos de su hija, ideó un plan. Mandó a llamar al enamorado de la princesa y le propuso lo siguiente:

- Dejaremos que el azar lo decida -dijo el Rey-. Pondré en esta bolsa dos uvas: una blanca, la otra negra. Deberá usted elegir sin mirar: si la uva extraída es blanca, se podrá casar; si es negra, olvidaremos todo el asunto.

Al no tener otra opción, el enamorado aceptó, corriendo el riesgo de extraer la uva negra. Pero la princesa, sospechando de la benevolencia de su padre, descubrió que en la bolsa había dos uvas del mismo color: negras.
Apresuradamente, corrió a comentarle a su amado las tremendas noticias:

- ¡Estamos perdidos! ¡Papá ha echado en la bolsa dos uvas negras! - dijo la princesa.
- Bueno, es cuestión de pedirle que muestre el contenido de la bolsa antes de empezar.
- Ya sé lo que va a decir: “¿Te atreves a dudar de la palabra del Rey?”
- ¿Y que pasa si me niego a extraer una uva?
- No nos veríamos mas, estoy segura. - Lloró la joven.

Llegado el momento, el enamorado extrajo una uva de la bolsa y, con celeridad, antes de que nadie la viera, se la llevo a la boca y se la trago.

- ¡No era lo convenido! -grito el Rey- ¡La prueba debe repetirse!
- No hace falta –contesto el muchacho-; basta con abrir la bolsa y ver la uva restante.

El acertijo del 2%

Leyendo “Matemática... ¿Estas ahí?” de Adrián Paenza, encontré un acertijo que escribió Einstein. Alegó que solo el 2% de la población mundial podía resolverlo. Modestia aparte, yo lo resolví y sinceramente, no me pareció tan complicado. Lo transcribo para que ustedes mismos puedan juzgar si es difícil o no. Eso sí, dedíquenle tiempo:

Se tienen cinco casas de cinco colores diferentes. En cada una de las casas vive una persona con una nacionalidad distinta. Cada uno de los dueños bebe un determinado tipo de bebida, fuma una determinada marca de cigarrillos y tiene una determinada mascota. Ningún dueño tiene la misma mascota, ni fuma los mismos cigarrillos ni bebe la misma bebida. Hay que encontrar entonces, al dueño del pez.

Las pistas son:

1) El británico vive en la casa roja.
2) El sueco tiene un perro como mascota.
3) El danés toma té.
4) La casa verde esta a la izquierda de la casa blanca.
5) El dueño de la casa verde toma café.
6) La persona que fuma Pall-Mall tiene un pájaro.
7) El dueño de la casa amarilla fuma Dunhill.
8) El que vive en la casa del centro toma leche.
9) El noruego vive en la primera casa.
10) La persona que fuma Blends vive junto a la que tiene un gato.
11) La persona que tiene un caballo vive junto a la que fuma Dunhill.
12) El que fuma Bluemasters bebe cerveza.
13) El alemán fuma Prince.
14) El noruego vive junto a la casa azul.
15) El que fuma Blends tiene un vecino que toma agua.

Disfrútenlo.

Bohr y la enseñanza

Esta historia es verídica y me parece sensacional; la encontré en varios sitios de Internet pero igual la quería compartir. Eliminando la genialidad del protagonista de la historia, seguramente debe haber tenido una motivación especial a la hora de estudiar. Particularmente creo que es lo que hace falta, docentes que sientan la docencia. Y completo la introducción con una idea de la lectura de “El hombre mediocre”: Genio se nace, y desafortunadamente son los menos; la mediocridad consta en no tratar de alcanzar la genialidad, aunque se sepa que nunca se llegue.

Sir Ernest Rutherford, presidente de la Sociedad Real Británica y Premio Nobel de Química en 1908, contaba la siguiente anécdota: Hace algún tiempo, recibí la llamada de un colega. Estaba a punto de poner un cero a un estudiante por la respuesta que había dado en un problema de física, pese a que éste afirmaba con rotundidad que su respuesta era absolutamente acertada.
Profesores y estudiantes acordaron pedir arbitraje de alguien imparcial y fui elegido yo. Leo la pregunta del examen y decía: "Demuestre cómo es posible determinar la altura de un edificio con la ayuda de un barómetro".
El estudiante había respondido: "Lleva el barómetro a la azotea del edificio y átale una cuerda muy larga. Descuélgalo hasta la base del edificio, marca y mide. La longitud de la cuerda es igual a la longitud del edificio".
Realmente, el estudiante había planteado un serio problema con la resolución del ejercicio, porque había respondido a la pregunta correcta y completamente. Por otro lado, si se le concedía la máxima puntuación, podría alterar el promedio de sus de estudios, obtener una nota más alta y así certificar su alto nivel en física; pero la respuesta no confirmaba que el estudiante tuviera ese nivel.
Sugerí que se le diera al alumno otra oportunidad. Le concedí seis minutos para que me respondiera la misma pregunta pero esta vez con la advertencia de que en la respuesta debía demostrar sus conocimientos de física. Habían pasado cinco minutos y el estudiante no había escrito nada. Le pregunté si deseaba marcharse, pero me contesto que tenia muchas respuestas al problema. Su dificultad era elegir la mejor de todas. Me excusé por interrumpirle y le rogué que continuara.
En el minuto que le quedaba escribió la siguiente respuesta: "Agarra el barómetro y déjalo caer al suelo desde la azotea del edificio, calcula el tiempo de caída con un cronómetro. Después se aplica la formula:

h = 0,5 . g . t²

Y así obtenemos la altura del edificio". En este punto le pregunté a mi colega si el estudiante se podía retirar. Le di la nota más alta.
Tras abandonar el despacho, me reencontré con el estudiante y le pedí que me contara sus otras respuestas a la pregunta. Bueno, respondió, hay muchas maneras, por ejemplo, coges el barómetro en un día soleado y mides la altura del barómetro y la longitud de su sombra. Si medimos a continuación la longitud de la sombra del edificio y aplicamos una simple proporción, obtendremos también la altura del edificio. (me acuerdo de como midio Tales)
Perfecto, le dije, ¿y de otra manera? Sí, contestó; éste es un procedimiento muy básico para medir un edificio, pero también sirve. En este método, tomas el barómetro y te sitúas en las escaleras del edificio en la planta baja. Según subes las escaleras, vas marcando en la pared la altura del barómetro y cuentas el número de marcas hasta la azotea. Multiplicas al final la altura del barómetro por el número de marcas que has hecho y ya tienes la altura. Éste es un método muy directo. Por supuesto, si lo que quieres es un procedimiento más sofisticado, puedes atar el barómetro a una cuerda y moverlo como si fuera un péndulo. Dado que cuando el barómetro está a la altura de la azotea la velocidad es cero y si tenemos en cuenta la medida de la aceleración de la gravedad, al descender el barómetro en trayectoria circular al pasar por la perpendicular del edificio, de la diferencia de estos valores, y aplicando una sencilla formula trigonométrica, podríamos calcular, sin duda, la altura del edificio.
En este mismo estilo de sistema, atas el barómetro a una cuerda y lo descuelgas desde la azotea a la calle. Usándolo como un péndulo puedes calcular la altura midiendo su período de precesión. En fin, concluyó, existen otras muchas maneras. Probablemente, siguió, la mejor sea tomar el barómetro y golpear con él la puerta de la casa del conserje. Cuando abra, decirle: señor conserje, aquí tengo un bonito barómetro. Si usted me dice la altura de este edificio, se lo regalo.
En este momento de la conversación, le pregunté si no conocía la respuesta convencional al problema (la diferencia de presión marcada por un barómetro en dos lugares diferentes nos proporciona la diferencia de altura entre ambos lugares). Evidentemente, dijo que la conocía, pero que durante sus estudios sus profesores habían intentado enseñarle a pensar. El estudiante se llamaba Niels Bohr, físico danés, premio Nobel de Física en 1922, más conocido por ser el primero en proponer el modelo de átomo con protones y neutrones y los electrones que lo rodeaban. Fue fundamentalmente un innovador de la teoría cuántica.

Midiendo alturas

Si quisiéramos saber la altura de, por ejemplo, un árbol, y no tuviéramos elementos para hacerlo, ¿Cómo lo podríamos medir?

Viajemos al pasado, mas específicamente a la Antigua Grecia alrededor del año 630 a.C. Aproximadamente en este año (no se sabe bien) nació Tales de Mileto, matemático y astrónomo, considerado por su inteligencia uno de los Siete Sabios de Grecia. Se le atribuye la creación de la Filosofía, ya que fue la primer persona en intentar comprender el origen del mundo sin la intervención de dioses. Opinaba que el agua era el origen de todas las cosas.
Como gran matemático que fue, definió que “los segmentos determinados por dos rectas concurrentes cortadas por paralelas son proporcionales“, siendo éste el famoso teorema de Tales.

Presentado Tales de Mileto, volvamos a la pregunta anterior, ¿Cómo mediríamos un árbol? Aunque lo que midió Tales, no fue precisamente un árbol, sino una pirámide en Egipto.
En aquella época nadie sabía como medir esas imponentes moles de roca, pero dicho matemático utilizó simplemente su teorema. Existen dos versiones sobre como lo hizo. Ambas son similares pero se diferencian en la utilización de herramientas. La primera versión, relata que midió la sombra de la pirámide, cuando la sombra de su propio cuerpo era igual a su altura. La segunda, indica que en vez de su cuerpo, utilizo un bastón apoyado verticalmente en el suelo. En definitiva el resultado es el mismo.
Ahora pasemos a la demostración. Llamemos A a la sombra del bastón o la sombra de Tales, es indistinto; B a la altura del bastón o la altura de Tales; C a la sombra de la pirámide y D a la altura de la misma. Como sabemos que los segmentos son proporcionales, el cociente entre B y A es igual al cociente entre D y C. Entonces:

B / A = D / C

(B / A) x C = D

¿Fácil no? ¿A cuántos de nosotros se nos hubiera ocurrido?

Además de esto, Tales es conocido también por la predicción de un eclipse en el año 585 antes de Cristo. Y se le adjudica también una máxima: “Conócete a ti mismo”.

Actualización 15-01-07: Grafico explicativo "robado" de Wikipedia. Los rayos del sol son concurrentes al suelo. A y B en el grafico estan cambiados.

Multiplicación sin tablas

Mirando Científicos Industria Argentina (Telefe, domingos a las 1000), aprendí una manera de multiplicar sin tablas. En realidad se tiene que saber multiplicar por dos y dividir por dos. Paso a explicarles.

Por ejemplo: 21 x 13 = 273

Se deben construir dos columnas. En la primer columna se coloca el 21 y en la segunda el 13. Una vez realizadas las columnas, al primer número se lo debe dividir por dos y al segundo multiplicarlo. En el caso de que la división no sea entera, se debe redondear siempre hacia el número más chico. Por ejemplo 21 dividido 2 es igual a 10,5, por lo que se coloca simplemente 10. Una vez finalizadas las respectivas divisiones y multiplicaciones, debemos tachar las filas de números pares de la columna de división y sumar solamente los números de la columna de multiplicación que no se han eliminado. ¿Se entendió? Mejor pongamos el ejemplo.

21 13
10 26
5 52
2 104
1 208

13 + 52 + 208 = 273

Por las dudas hagamos otro ejemplo: 12 x 34 = 408

12 34
6 68
3 136
1 272

136 + 272 = 408

Si les gustó esta manera de multiplicar sin tablas, estos métodos de multiplicación gráficos también les agradaran.

Multiplicación con líneas:

Multiplicación con círculos:

Los videos los descubrí vía Gaussianos. Pagina recomendable si te gusta la matemática.

Galeano y el planisferio

Los que leyeron el libro de Eduardo Galeano, "Patas Arriba", recordaran (si no se los recuerdo) un artículo denominado Mapamundi, que dice lo siguiente:

“La línea del ecuador no atraviesa por la mitad el mapamundi que aprendimos en la escuela. Hace más de medio siglo, el investigador alemán Arno Peters advirtió esto que todos habían mirado pero que nadie había visto: el rey de la geografía estaba desnudo.
El mapamundi que nos enseñaron otorga dos tercios al norte y un tercio al sur. Europa es, en el mapa, más extensa que América latina, aunque en realidad América latina duplica la superficie de Europa. La India parece más pequeña que Escandinavia, aunque es tres veces mayor. Estados Unidos y Canadá ocupan, en el mapa, mas espacio que África, y en la realidad apenas llegan a las dos terceras partes del territorio africano.
El mapa miente. La geografía tradicional roba el espacio, como la economía imperial roba la riqueza, la historia oficial roba la memoria y la cultura formal roba la palabra.”

El fragmento esta acompañado por un mapa similar a este.

Todos sabemos que el planeta Tierra es una esfera achatada por los polos. Si la cortamos en rebanadas paralelas al ecuador, obtenemos círculos de menor diámetro a medida que nos alejamos hacia los polos (si les cuesta imaginar esto pueden verlo claramente cortando una naranja) Al ser los círculos más pequeños, la circunferencia (π x d) va a ir decreciendo. Por ejemplo, si cortamos a la Tierra en la latitud 45º S (Comodoro Rivadavia, Argentina), o en la latitud 65º S (Base Marambio, Antartida Argentina) la circunferencia de los círculos resultantes es aproximadamente 30% y 58% mas pequeña que la del ecuador (latitud 0º). Vale aclarar que lo mismo pasará en las mismas latitudes pero del hemisferio norte.
Por ende, si quisiéramos elaborar un planisferio, es decir hacer una representación plana de una esfera, tendríamos que hacer algunas correcciones. Tendríamos que agregar ese porcentaje de diferencia y por eso las zonas cercanas a los polos serian mucho más grande de lo que son en realidad. Estaríamos estirando dichos círculos para que tengan la misma longitud que el ecuador. Por eso Europa en un planisferio es más grande que América latina, Estados Unidos y Canadá mas que África y demás.
Habrán notado también que en el mapa anterior no esta el continente Antártico, y por eso la línea del ecuador no esta justo en el medio. Falta un pedazo del mapamundi, por eso es más grande un hemisferio que otro. ¿Si el mapa hubiera estado completo también reclamaría que el mapa miente por dibujar al continente antártico más grande?

Puede ser que la economía imperial robe la riqueza, que la historia oficial robe la memoria y que la cultura formal robe la palabra. Pero el mapa no miente. El articulo anterior miente.

Eratóstenes y la circunferencia terrestre

Ya en la antigua Grecia, se creía que la Tierra era una esfera perfecta, pero solo por cuestiones filosóficas. Platón y Pitágoras no podían concebir la figura de la misma, que albergaba el pensamiento humano, como algo no perfecto. Y por supuesto, establecieron dicha idea de una esfera perfecta, aunque sin fundamentos. Y es Aristóteles quien aporta evidencias de los dichos de su maestro Platón, al observar que en los eclipses de Luna lunares, la sombra proyectada sobre la Tierra Luna tenia forma circular.

Pero las preguntas continuaban, y llegó el turno del tamaño. ¿Cuán grande era la Tierra?
Eratóstenes, filósofo, astrónomo, matemático, geógrafo, fue uno de los grandes pensadores de la antigüedad, sus contemporáneos lo apodaron Beta, porque afirmaban que era en todo el segundo mejor del mundo. Pero fue el primero en determinar la circunferencia de la Tierra, y debido a que vivió en el siglo III a.C sus herramientas sólo fueron palos, ojos, pies y su cerebro.
Siendo director de la biblioteca de Alejandría, leyó en un papiro que en Siena, actualmente Asuán, Egipto, en el mediodía del 21 de Junio un palo vertical no proyectaba sombra. Pero en Alejandría no sucedía esto, un palo vertical sí proyectaba sombra. Y se preguntó porque. La primera conclusión que determinó fue que definitivamente la Tierra no podía ser plana, porque si así lo fuera, el Sol produciría sombras de igual longitud para ambos palos, sin importar de la distancia que los separaran (el Sol esta tan lejos que sus rayos son paralelos cuando llegan a la Tierra). Comprendió entonces que la única respuesta posible era que la superficie de la Tierra estaba curvada, y cuanto mayor sea la curvatura, mayor iba a ser la diferencia entre las longitudes de la sombra. Y quiso determinar la circunferencia de la Tierra. Sabia que la distancia entre Siena y Alejandría era de aproximadamente unos siete grados a lo largo de la superficie de la Tierra, por la diferencia entre las longitudes de las sombras de los palos; si imaginamos los palos prolongados hasta llegar al centro de la Tierra, formaran un ángulo de siete grados. Este resultado es aproximadamente una cincuentava parte de los trescientos sesenta grados que contiene la circunferencia entera de la Tierra. Pero le faltaba un dato, la distancia entre Siena y Alejandría, por lo que contrató a un hombre para que lo midiera a pasos. El resultado era aproximadamente 5040 estadios egipcios, siendo un estadio egipcio 157,2 metros. Una distancia de 792,29 kilómetros. Entonces, esta distancia entre Siena y Alejandría siendo igual a la cincuentava parte de la circunferencia (como había determinado por las sombras de los palos) da como resultado, multiplicando ambos, 39614,4 kilómetros. Esta debía ser la circunferencia de la Tierra. Solo un error de aproximadamente 1%, ya que la verdadera circunferencia es 40008 kilómetros. Impresionante.