martes, febrero 12, 2008

Distancia al horizonte

¿Quién no se preguntó alguna vez a que distancia se encontraba esa línea en donde se juntan el mar y el cielo?

El grafico a continuación trata de representar la curvatura de la tierra y a un observador de altura a mirando hacia el horizonte. El radio de la Tierra esta representado por r y la distancia al horizonte es l, que es lo que queremos averiguar. ¿Cómo lo hacemos?

Seguramente alguno se habrá dado cuenta: Utilizando el famosísimo teorema de Pitágoras. Para el caso del grafico que nos ocupa, podríamos enunciar que la sumatoria de las áreas de los cuadrados celeste y amarillo es igual al área del cuadrado verde, ¿no?

Área verde = área celeste + área amarillo
(r + a)2 = l2 + r2


Si desarrollamos la ecuación, tenemos que:

(r + a)2 - r2 = l2
√ (r2 + 2ar + a2) – r2 = l
√ (2ar + a2) = l


Detengámonos un momento. Como la altura a es muy pequeña con respecto al radio de la Tierra, podríamos considerar despreciable el termino a2. Entonces concluimos que la distancia al horizonte es:

√ (2ar) ≈ l


Sabiendo el radio de la Tierra (aproximadamente 6400 kilómetros) y nuestra altura (tomo 1,70 metros como promedio), podemos calcular l:

√ (2 x 0,0017 x 6400) ≈ l
4,6 km ≈ l


Siempre supuse que se encontraba muchísimo más lejos.

Esta manera de calcular la distancia al horizonte la encontré en un libro de Alberto Rojo, que se titula “La física en la vida cotidiana”, de la misma editorial que los libros de matemática de Paenza. Por cierto, muy bueno.

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