Circunferencia terrestre y relojes

Hace mucho tiempo escribí un artículo en el que hablaba de la grandiosa forma en que Eratóstenes calculó la circunferencia de la Tierra. En el artículo desarrollado a continuación les comentaré una manera de hacerlo sin tener que caminar casi 800 kilómetros. Solo hay que dejar que el tiempo pase:

En primer lugar, tenemos que encontrar un lugar desde donde podamos ver el atardecer a nivel del mar, como por ejemplo las playas de la costa marítima argentina. Segundo, debemos sentarnos en dicha zona geográfica al atardecer, donde podremos ver como el Sol se va ocultando en el horizonte. Cuando éste desaparezca totalmente, debemos pararnos. Al dejar la posición de sentados y erguirnos, vamos a ver como el Sol nuevamente aparece por encima del horizonte (una demostración clara de que la Tierra es redonda), y tendremos que cronometrar el tiempo que tarda dicho astro en ocultarse otra vez. Con este dato y nuestra altura, podemos calcular fácilmente la circunferencia de la Tierra. Veamos como:

Los invito a convencerse de algo. Si caminamos la mitad del perímetro de la Tierra por el ecuador, y si trazamos una línea imaginaria desde el punto de partida y el punto de llegada hasta el centro de la Tierra, ¿Qué ángulo habremos barrido? La mitad de 360º, ¿no? ¿Y si caminamos un cuarto del perímetro? Seria también un cuarto de 360º. ¿Y tres cuartos del perímetro? También serian tres cuartos de 360º. Vemos entonces como el ángulo barrido y la distancia recorrida se corresponden, por lo que:

ángulo barrido / 360º = distancia recorrida / perímetro de la Tierra

¿Y si tenemos en cuenta el tiempo? Sabemos que la Tierra revoluciona una vez cada 24 horas, entonces, si pasa la mitad de un día, ¿no estaríamos barriendo un ángulo igual a la mitad de 360º? ¿Y no estaríamos recorriendo la mitad del perímetro? Claramente si, por lo que el tiempo también se corresponde con las otras dos magnitudes:

tiempo transcurrido / 24 horas = ángulo barrido / 360º

tiempo transcurrido / 24 horas = distancia recorrida / perímetro de la Tierra

Ahora bien, tengamos en cuenta una cosa: Si el ángulo barrido es muy pequeño, la distancia recorrida es casi igual la distancia al horizonte (esa distancia que desarrollamos en este artículo), por lo que la formula anteriormente enunciada seria:

tiempo transcurrido / 24 horas = distancia al horizonte / perímetro de la Tierra

También en el artículo que trataba sobre la distancia al horizonte, determinamos que la distancia al horizonte al cuadrado es el doble de la altura de la persona por el radio de la Tierra:

(distancia al horizonte)² = 2 x altura x radio de la Tierra

Si elevamos al cuadrado los dos términos del párrafo anterior:

(tiempo transcurrido)² / (24 horas)² = (distancia al horizonte)² / (perímetro de la Tierra)²

Y reemplazando la distancia al horizonte:

(tiempo transcurrido)² / (24 horas)² = 2 x altura x radio de la tierra / (perímetro de la Tierra)²

Sabiendo que el radio de la Tierra es el perímetro dividido dos veces π, entonces:

(tiempo transcurrido)² / (24 horas)² = 2 x altura x perímetro de la Tierra / 2π x (perímetro de la Tierra)²

(tiempo transcurrido)² / (24 horas)² = altura / π x perímetro de la Tierra

altura x (24 horas)² / π x (tiempo transcurrido)² = perímetro de la Tierra

Ahora bien, faltan algunos datos para resolver esta ecuación, y como no creo que quieran esperar a las vacaciones o se hagan un viaje para cronometrar el tiempo que tarda en ponerse el Sol entre la posición sentados y parados, se las daré: Para un observador de 1,70 metros de altura, el tiempo es de10 segundos. Entonces:

0,0017 km. x (86400 seg.)² / π x (10 seg.)² = perímetro de la Tierra

12690432 km. x seg.² / π x 100 seg.² = perímetro la Tierra

40415,38 km. = perímetro de la Tierra

Bastante exacto, sabiendo que el perímetro de la Tierra es aproximadamente 40000 km. Otra vez, aprendido del gran Alberto Rojo.